3.317 \(\int \tan ^3(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)} (A+B \tan (c+d x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=233 \[ -\frac{2 \left (-8 a^2 B+14 a A b+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{\sqrt{a-i b} (A-i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{\sqrt{a+i b} (A+i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d} \]

[Out]

(Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh
[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*(14*a*A*b - 8*a^2*B + 35*b
^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*b^3*d) + (2*(7*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3
5*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*b*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.629595, antiderivative size = 233, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 8, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.242, Rules used = {3607, 3647, 3630, 3528, 3539, 3537, 63, 208} \[ -\frac{2 \left (-8 a^2 B+14 a A b+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{\sqrt{a-i b} (A-i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{\sqrt{a+i b} (A+i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]),x]

[Out]

(Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh
[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (2*A*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d - (2*(14*a*A*b - 8*a^2*B + 35*b
^2*B)*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(105*b^3*d) + (2*(7*A*b - 4*a*B)*Tan[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(3
5*b^2*d) + (2*B*Tan[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2))/(7*b*d)

Rule 3607

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*B*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*
f*(m + n)), x] + Dist[1/(d*(m + n)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a^2*A*d*(m +
n) - b*B*(b*c*(m - 1) + a*d*(n + 1)) + d*(m + n)*(2*a*A*b + B*(a^2 - b^2))*Tan[e + f*x] - (b*B*(b*c - a*d)*(m
- 1) - b*(A*b + a*B)*d*(m + n))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*
c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&
!(IGtQ[n, 1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3647

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d
*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 1)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 1)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c +
d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 1) - C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + d*(A*b + a*B - b*C)*(m + n + 1)*Tan[e + f
*x] - (C*m*(b*c - a*d) - b*B*d*(m + n + 1))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !Intege
rQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3630

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(C*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 1)), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])
^m*Simp[A - C + B*Tan[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]
&&  !LeQ[m, -1]

Rule 3528

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(d
*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/(f*m), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*c - b*d + (b*c + a*d)*Tan[e + f*x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 0]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \tan ^3(c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)} (A+B \tan (c+d x)) \, dx &=\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}+\frac{2 \int \tan (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)} \left (-2 a B-\frac{7}{2} b B \tan (c+d x)+\frac{1}{2} (7 A b-4 a B) \tan ^2(c+d x)\right ) \, dx}{7 b}\\ &=\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}+\frac{4 \int \sqrt{a+b \tan (c+d x)} \left (-\frac{1}{2} a (7 A b-4 a B)-\frac{35}{4} A b^2 \tan (c+d x)-\frac{1}{4} \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) \tan ^2(c+d x)\right ) \, dx}{35 b^2}\\ &=-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}+\frac{4 \int \sqrt{a+b \tan (c+d x)} \left (\frac{35 b^2 B}{4}-\frac{35}{4} A b^2 \tan (c+d x)\right ) \, dx}{35 b^2}\\ &=-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}+\frac{4 \int \frac{\frac{35}{4} b^2 (A b+a B)-\frac{35}{4} b^2 (a A-b B) \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{35 b^2}\\ &=-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}+\frac{1}{2} ((i a+b) (A-i B)) \int \frac{1+i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx-\frac{1}{2} ((i a-b) (A+i B)) \int \frac{1-i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}-\frac{((a-i b) (A-i B)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a-i b x}} \, dx,x,i \tan (c+d x)\right )}{2 d}-\frac{((a+i b) (A+i B)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+i b x}} \, dx,x,-i \tan (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}-\frac{((i a+b) (A-i B)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i a}{b}+\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}+\frac{((i a-b) (A+i B)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i a}{b}-\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}\\ &=\frac{\sqrt{a-i b} (A-i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{\sqrt{a+i b} (A+i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{2 A \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{2 \left (14 a A b-8 a^2 B+35 b^2 B\right ) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{105 b^3 d}+\frac{2 (7 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{35 b^2 d}+\frac{2 B \tan ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2}}{7 b d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.66653, size = 212, normalized size = 0.91 \[ \frac{2 \sqrt{a+b \tan (c+d x)} \left (-b \left (4 a^2 B-7 a A b+35 b^2 B\right ) \tan (c+d x)-14 a^2 A b+8 a^3 B+3 b^2 (a B+7 A b) \tan ^2(c+d x)-35 a b^2 B-105 A b^3+15 b^3 B \tan ^3(c+d x)\right )}{105 b^3 d}+\frac{\sqrt{a-i b} (A-i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{\sqrt{a+i b} (A+i B) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tan[c + d*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(A + B*Tan[c + d*x]),x]

[Out]

(Sqrt[a - I*b]*(A - I*B)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b]])/d + (Sqrt[a + I*b]*(A + I*B)*ArcTanh
[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d + (2*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]*(-14*a^2*A*b - 105*A*b^3 + 8*a^3*B -
35*a*b^2*B - b*(-7*a*A*b + 4*a^2*B + 35*b^2*B)*Tan[c + d*x] + 3*b^2*(7*A*b + a*B)*Tan[c + d*x]^2 + 15*b^3*B*T
an[c + d*x]^3))/(105*b^3*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.121, size = 1099, normalized size = 4.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*tan(d*x+c)^3*(A+B*tan(d*x+c)),x)

[Out]

2/7/d/b^3*B*(a+b*tan(d*x+c))^(7/2)+2/5/d/b^2*A*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2)-4/5/d/b^3*B*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2)*a-2/3
/d/b^2*A*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2)*a+2/3/d/b^3*a^2*B*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2)-2/3*B*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2)/b/d-2*A*
(a+b*tan(d*x+c))^(1/2)/d+1/4/d*ln(b*tan(d*x+c)+a+(a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)+(a^2+b^2
)^(1/2))*A*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-1/4/d/b*ln(b*tan(d*x+c)+a+(a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2
*a)^(1/2)+(a^2+b^2)^(1/2))*B*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)*(a^2+b^2)^(1/2)+1/4/d/b*ln(b*tan(d*x+c)+a+(a+b*tan(
d*x+c))^(1/2)*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)+(a^2+b^2)^(1/2))*B*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)*a+1/d/(2*(a^2+b^2
)^(1/2)-2*a)^(1/2)*arctan((2*(a+b*tan(d*x+c))^(1/2)+(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/
2))*A*(a^2+b^2)^(1/2)-1/d/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2)*arctan((2*(a+b*tan(d*x+c))^(1/2)+(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*
a)^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2))*A*a+1/d*b/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2)*arctan((2*(a+b*tan(d*x+c))^(1
/2)+(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2))*B-1/4/d*ln((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*(2*(a^2+b^
2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-b*tan(d*x+c)-a-(a^2+b^2)^(1/2))*A*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)+1/4/d/b*ln((a+b*tan(d*x+c)
)^(1/2)*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-b*tan(d*x+c)-a-(a^2+b^2)^(1/2))*B*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)*(a^2+b^2
)^(1/2)-1/4/d/b*ln((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*(2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-b*tan(d*x+c)-a-(a^2+b^2)^(1/2))*B*(2*(
a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)*a-1/d/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2)*arctan(((2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-2*(a+b*tan
(d*x+c))^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2))*A*(a^2+b^2)^(1/2)+1/d/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2)*arctan(((2*
(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-2*(a+b*tan(d*x+c))^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2))*A*a-1/d*b/(2*(a^2+b^2)^(1/
2)-2*a)^(1/2)*arctan(((2*(a^2+b^2)^(1/2)+2*a)^(1/2)-2*(a+b*tan(d*x+c))^(1/2))/(2*(a^2+b^2)^(1/2)-2*a)^(1/2))*B

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*tan(d*x+c)^3*(A+B*tan(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 72.8826, size = 18625, normalized size = 79.94 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*tan(d*x+c)^3*(A+B*tan(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/420*(420*sqrt(2)*b^3*d^5*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^
2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B
- A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 +
B^4)*b^2)/d^4)*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(3/4)*arctan(((2*(A^7*B + 3*A
^5*B^3 + 3*A^3*B^5 + A*B^7)*a^3 + (A^8 + 2*A^6*B^2 - 2*A^2*B^6 - B^8)*a^2*b + 2*(A^7*B + 3*A^5*B^3 + 3*A^3*B^5
+ A*B^7)*a*b^2 + (A^8 + 2*A^6*B^2 - 2*A^2*B^6 - B^8)*b^3)*d^4*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (
A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (2*(A
^9*B + 4*A^7*B^3 + 6*A^5*B^5 + 4*A^3*B^7 + A*B^9)*a^4 + (A^10 + 3*A^8*B^2 + 2*A^6*B^4 - 2*A^4*B^6 - 3*A^2*B^8
- B^10)*a^3*b + 2*(A^9*B + 4*A^7*B^3 + 6*A^5*B^5 + 4*A^3*B^7 + A*B^9)*a^2*b^2 + (A^10 + 3*A^8*B^2 + 2*A^6*B^4
- 2*A^4*B^6 - 3*A^2*B^8 - B^10)*a*b^3)*d^2*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^
4)*b^2)/d^4) + sqrt(2)*((2*(A^4*B + A^2*B^3)*a + (A^5 - A*B^4)*b)*d^7*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*
a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)
+ (2*(A^6*B + 2*A^4*B^3 + A^2*B^5)*a^2 + (A^7 - A^5*B^2 - 5*A^3*B^4 - 3*A*B^6)*a*b - (A^6*B + A^4*B^3 - A^2*B^
5 - B^7)*b^2)*d^5*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4))*sqrt(((2*A*
B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*
B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)
*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*b^2)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(A*d^7*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b
^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + ((A^3 + A*B^2)*a - (A^2*B + B
^3)*b)*d^5*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4))*sqrt(((2*A*B*b - (
A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B
^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*
sqrt(((4*(A^4*B^2 + A^2*B^4)*a^4 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a^3*b + (A^6 + 3*A^4*B^2 + 3*A^2*B^4 + B^6)*a^2*b^2 + 4*(
A^5*B - A*B^5)*a*b^3 + (A^6 - A^4*B^2 - A^2*B^4 + B^6)*b^4)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A
^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((4*A^3*B^2*a^3 + 4*(A^4*B - 2*A^2*B^3)*a^2*b + (A^5 - 6*A^3*B^
2 + 5*A*B^4)*a*b^2 - (A^4*B - 2*A^2*B^3 + B^5)*b^3)*d^3*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^5*B^2 + A^3*B^4)*a^4 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a^3*b + (A^7 + 3*A^5*B^2 + 3*A
^3*B^4 + A*B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a*b^3 + (A^7 - A^5*B^2 - A^3*B^4 + A*B^6)*b^4)*d*cos(d*x + c))*s
qrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^
4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*
B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2
*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^5 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^
7)*a^4*b + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^3*b^2 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^2
*b^3 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*a*b^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^4*b + 4*(A^7*B + A^5
*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^3*b^2 + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^2*b^3 + 4*(A^7*B + A^5*B^3
- A^3*B^5 - A*B^7)*a*b^4 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*b^5)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*(((A^4 + 2*
A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(3/4))/(4*(A^10*B^2 + 4*A^8*B^4 + 6*A^6*B^6 + 4*A^4*B^8
+ A^2*B^10)*a^4*b + 4*(A^11*B + 3*A^9*B^3 + 2*A^7*B^5 - 2*A^5*B^7 - 3*A^3*B^9 - A*B^11)*a^3*b^2 + (A^12 + 6*A
^10*B^2 + 15*A^8*B^4 + 20*A^6*B^6 + 15*A^4*B^8 + 6*A^2*B^10 + B^12)*a^2*b^3 + 4*(A^11*B + 3*A^9*B^3 + 2*A^7*B^
5 - 2*A^5*B^7 - 3*A^3*B^9 - A*B^11)*a*b^4 + (A^12 + 2*A^10*B^2 - A^8*B^4 - 4*A^6*B^6 - A^4*B^8 + 2*A^2*B^10 +
B^12)*b^5))*cos(d*x + c)^3 + 420*sqrt(2)*b^3*d^5*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A
^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b
+ (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(3/4)*a
rctan(-((2*(A^7*B + 3*A^5*B^3 + 3*A^3*B^5 + A*B^7)*a^3 + (A^8 + 2*A^6*B^2 - 2*A^2*B^6 - B^8)*a^2*b + 2*(A^7*B
+ 3*A^5*B^3 + 3*A^3*B^5 + A*B^7)*a*b^2 + (A^8 + 2*A^6*B^2 - 2*A^2*B^6 - B^8)*b^3)*d^4*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*
(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*b^2)/d^4) + (2*(A^9*B + 4*A^7*B^3 + 6*A^5*B^5 + 4*A^3*B^7 + A*B^9)*a^4 + (A^10 + 3*A^8*B^2 + 2*A^6*B^4 -
2*A^4*B^6 - 3*A^2*B^8 - B^10)*a^3*b + 2*(A^9*B + 4*A^7*B^3 + 6*A^5*B^5 + 4*A^3*B^7 + A*B^9)*a^2*b^2 + (A^10 +
3*A^8*B^2 + 2*A^6*B^4 - 2*A^4*B^6 - 3*A^2*B^8 - B^10)*a*b^3)*d^2*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b
+ (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) - sqrt(2)*((2*(A^4*B + A^2*B^3)*a + (A^5 - A*B^4)*b)*d^7*sqrt((4*A^2*B^2*a
^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^
2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (2*(A^6*B + 2*A^4*B^3 + A^2*B^5)*a^2 + (A^7 - A^5*B^2 - 5*A^3*B^4 - 3*A*B^6)*a*b - (A
^6*B + A^4*B^3 - A^2*B^5 - B^7)*b^2)*d^5*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)
*b^2)/d^4))*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^
2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b +
(A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a
^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(A*d^7*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A
^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + ((A^3
+ A*B^2)*a - (A^2*B + B^3)*b)*d^5*sqrt((4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d
^4))*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)
+ (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 -
2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt(((4*(A^4*B^2 + A^2*B^4)*a^4 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a^3*b + (A^6 + 3*A^4*B^2 + 3*A^2*B
^4 + B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a*b^3 + (A^6 - A^4*B^2 - A^2*B^4 + B^6)*b^4)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2
+ B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((4*A^3*B^2*a^3 + 4*(A^4*B - 2*A^2*B^3)*
a^2*b + (A^5 - 6*A^3*B^2 + 5*A*B^4)*a*b^2 - (A^4*B - 2*A^2*B^3 + B^5)*b^3)*d^3*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a
^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^5*B^2 + A^3*B^4)*a^4 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a^3*b +
(A^7 + 3*A^5*B^2 + 3*A^3*B^4 + A*B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a*b^3 + (A^7 - A^5*B^2 - A^3*B^4 + A*B^6)
*b^4)*d*cos(d*x + c))*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2
+ B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B
^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*A^2*B^
2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^5 + 4*(A^7*B + A
^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^4*b + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^3*b^2 + 4*(A^7*B + A^5*B^3
- A^3*B^5 - A*B^7)*a^2*b^3 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*a*b^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)
*a^4*b + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^3*b^2 + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^2*b
^3 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a*b^4 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*b^5)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos
(d*x + c)))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(3/4))/(4*(A^10*B^2 + 4*A^8*B^4
+ 6*A^6*B^6 + 4*A^4*B^8 + A^2*B^10)*a^4*b + 4*(A^11*B + 3*A^9*B^3 + 2*A^7*B^5 - 2*A^5*B^7 - 3*A^3*B^9 - A*B^11
)*a^3*b^2 + (A^12 + 6*A^10*B^2 + 15*A^8*B^4 + 20*A^6*B^6 + 15*A^4*B^8 + 6*A^2*B^10 + B^12)*a^2*b^3 + 4*(A^11*B
+ 3*A^9*B^3 + 2*A^7*B^5 - 2*A^5*B^7 - 3*A^3*B^9 - A*B^11)*a*b^4 + (A^12 + 2*A^10*B^2 - A^8*B^4 - 4*A^6*B^6 -
A^4*B^8 + 2*A^2*B^10 + B^12)*b^5))*cos(d*x + c)^3 - 105*sqrt(2)*((2*A*B*b^4 - (A^2 - B^2)*a*b^3)*d^3*sqrt(((A^
4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c)^3 - ((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2*b^3
+ (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^5)*d*cos(d*x + c)^3)*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*
A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A
^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4)*log(((4*(A^4*B^2 + A^2*B^4)*a^4 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a^3*b + (A^6 + 3*A^4*B^2 + 3
*A^2*B^4 + B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a*b^3 + (A^6 - A^4*B^2 - A^2*B^4 + B^6)*b^4)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^
2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((4*A^3*B^2*a^3 + 4*(A^4*B - 2*A^2
*B^3)*a^2*b + (A^5 - 6*A^3*B^2 + 5*A*B^4)*a*b^2 - (A^4*B - 2*A^2*B^3 + B^5)*b^3)*d^3*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 +
B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^5*B^2 + A^3*B^4)*a^4 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a
^3*b + (A^7 + 3*A^5*B^2 + 3*A^3*B^4 + A*B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a*b^3 + (A^7 - A^5*B^2 - A^3*B^4 +
A*B^6)*b^4)*d*cos(d*x + c))*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A
^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B
- A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*
A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^5 + 4*(A^7
*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^4*b + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^3*b^2 + 4*(A^7*B + A
^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^2*b^3 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*a*b^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^
2*B^6)*a^4*b + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^3*b^2 + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)
*a^2*b^3 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a*b^4 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*b^5)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^
2)*cos(d*x + c))) + 105*sqrt(2)*((2*A*B*b^4 - (A^2 - B^2)*a*b^3)*d^3*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4
+ 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c)^3 - ((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2*b^3 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^5)*
d*cos(d*x + c)^3)*sqrt(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B
^4)*b^2)/d^4) + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*
a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4)*lo
g(((4*(A^4*B^2 + A^2*B^4)*a^4 + 4*(A^5*B - A*B^5)*a^3*b + (A^6 + 3*A^4*B^2 + 3*A^2*B^4 + B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^5
*B - A*B^5)*a*b^3 + (A^6 - A^4*B^2 - A^2*B^4 + B^6)*b^4)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*
B^2 + B^4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((4*A^3*B^2*a^3 + 4*(A^4*B - 2*A^2*B^3)*a^2*b + (A^5 - 6*A^3*B^2 +
5*A*B^4)*a*b^2 - (A^4*B - 2*A^2*B^3 + B^5)*b^3)*d^3*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^
4)*b^2)/d^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^5*B^2 + A^3*B^4)*a^4 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a^3*b + (A^7 + 3*A^5*B^2 + 3*A^3*
B^4 + A*B^6)*a^2*b^2 + 4*(A^6*B - A^2*B^5)*a*b^3 + (A^7 - A^5*B^2 - A^3*B^4 + A*B^6)*b^4)*d*cos(d*x + c))*sqrt
(((2*A*B*b - (A^2 - B^2)*a)*d^2*sqrt(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4) + (A^4 +
2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^2)/(4*A^2*B^2*a^2 + 4*(A^3*B - A*B^3)*a*b + (A^4 - 2*A^2*B^2
+ B^4)*b^2))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2 + (A^4 + 2*A^
2*B^2 + B^4)*b^2)/d^4)^(1/4) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^5 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*
a^4*b + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^3*b^2 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^2*b^
3 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*a*b^4)*cos(d*x + c) + (4*(A^6*B^2 + 2*A^4*B^4 + A^2*B^6)*a^4*b + 4*(A^7*B + A^5*B^
3 - A^3*B^5 - A*B^7)*a^3*b^2 + (A^8 + 4*A^6*B^2 + 6*A^4*B^4 + 4*A^2*B^6 + B^8)*a^2*b^3 + 4*(A^7*B + A^5*B^3 -
A^3*B^5 - A*B^7)*a*b^4 + (A^8 - 2*A^4*B^4 + B^8)*b^5)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) + 8*(2*(4*(A^4
*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a^5 - 7*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*a^4*b - 15*(A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a^3*b^2 - 70*(A^5
+ 2*A^3*B^2 + A*B^4)*a^2*b^3 - 19*(A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a*b^4 - 63*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*b^5)*cos(d*x
+ c)^3 + 3*((A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a^3*b^2 + 7*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*a^2*b^3 + (A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^
5)*a*b^4 + 7*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*b^5)*cos(d*x + c) + (15*(A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a^2*b^3 + 15*(A^4*B +
2*A^2*B^3 + B^5)*b^5 - (4*(A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*a^4*b - 7*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*a^3*b^2 + 54*(A^4*B +
2*A^2*B^3 + B^5)*a^2*b^3 - 7*(A^5 + 2*A^3*B^2 + A*B^4)*a*b^4 + 50*(A^4*B + 2*A^2*B^3 + B^5)*b^5)*cos(d*x + c)
^2)*sin(d*x + c))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/(((A^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*a^2*b^3 + (A
^4 + 2*A^2*B^2 + B^4)*b^5)*d*cos(d*x + c)^3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (A + B \tan{\left (c + d x \right )}\right ) \sqrt{a + b \tan{\left (c + d x \right )}} \tan ^{3}{\left (c + d x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))**(1/2)*tan(d*x+c)**3*(A+B*tan(d*x+c)),x)

[Out]

Integral((A + B*tan(c + d*x))*sqrt(a + b*tan(c + d*x))*tan(c + d*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^(1/2)*tan(d*x+c)^3*(A+B*tan(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out